Bài toán cực trị số phức Giải bài toán cực trị số phức bằng phương pháp hình học

Tải về
  • Đánh giá:
    (3★ | 1 👨)
  • Phát hành:
  • Sử dụng: Miễn phí
  • Dung lượng: 473,1 KB
  • Lượt xem: 68
  • Lượt tải: 12
  • Ngày cập nhật:
Giới thiệu

Bài toán cực trị số phức là một trong những bài toán khá thú vị trong chương trình Toán lớp 12 và cũng là một trong những dạng toán khó dành cho học sinh.

Hiểu rõ được điều đó, Download.com.vn xin giới thiệu đến các bạn Bài toán cực trị số phức để các bạn dễ dàng hình dung và nắm bắt được kiến thức trọng tâm. Sau đây là nội dung chi tiết, mời bạn đọc cùng tham khảo và tải tài liệu tại đây.

Bài toán cực trị số phức

1
CỰC TRỊ SỐ PHỨC VÀ HÌNH HỌC
Câu 1. Cho số phức z thỏa mãn điều kiện |z 1 i| + |z + 1 + 3i| = 6
5. Giá trị lớn nhất của
|z 2 3i|
A 5
5. B 2
5. C 6
5. D 4
5.
Hướng dẫn giải
Ta |z 1 i| + |z + 1 + 3i| = 6
5 MA + MB = 6
5 với M(x; y)
biểu diễn số phức z = x + yi, A(1; 1) biểu diễn số phức 1 + i, B(1; 3)
biểu diễn số phức 1 3i.
Khi đó điểm M nằm trên elip tâm I độ dài trục lớn 6
5 và A, B
hai tiêu điểm.
A
B
C
I
M
0
M
|z 2 3i| = MC với C(2; 3) biểu diễn số phức 2 + 3i.
# »
AB = (2; 4) AB = 2
5.
# »
A C = (1; 2) AC =
5.
Vì
# »
AB = 2
# »
A C nên
# »
AB,
# »
A C ngược hướng AB = 2AC.
Gọi M
0
điểm nằm trên elip sao cho A, B, M
0
thẳng hàng M
0
khác phía A so với B.
Ta BM
0
=
6
5 AB
2
= 2
5.
Ta thấy MC M
0
C với mọi điểm M nằm trên elip.
Do đó MC lớn nhất khi và chỉ khi M M
0
.
Khi đó MC = M
0
C = CA + AB + BM
0
=
5 + 2
5 + 2
5 = 5
5.
Chọn đáp án A
Câu 2. Cho số phức z thỏa mãn |z + 1| + |z 3 4i| = 10. Giá trị nhỏ nhất P
min
của biểu thức
P = |z 1 + 2i| bằng
A P
min
=
17. B P
min
=
34. C P
min
= 2
10. D P
min
=
34
2
.
Hướng dẫn giải
Đặt z = x + yi, điểm biểu diễn của z M(x; y).
Khi đó |z + 1| + |z 3 4i| = 10 MA + MB = 10 với A(1; 0) và B(3; 4).
Suy ra M thuộc elip độ dài trục lớn 10 2a = 10 a = 5 và hai tiêu điểm A, B.
# »
AB = (4; 4) AB = 4
2 2c = 4
2 c = 2
2.
Ta
P = |z 1 + 2i|
=
q
(x 1)
2
+ (y 2)
2
= MH
2
Với H(1; 2). Dễ thấy A, B, H thẳng hàng nên H thuộc đoạn AB.
Do đó P
min
MH ngắn nhất khi và chỉ khi M thuộc trục nhỏ của elip.
Khi đó độ dài MH bằng một nửa trục nhỏ hay MH = b =
a
2
c
2
=
17.
Chọn đáp án A
Câu 3. Cho các số phức z, w thỏa mãn |z 5 + 3i| = 3, |iw + 4 + 2i| = 2. Tìm giá trị lớn nhất của
biểu thức T = |3iz + 2w|.
A
554 + 5. B
578 + 13. C
578 + 5. D
554 + 13.
Hướng dẫn giải
O
IA B
9
4
Ta |z 5 + 3i| = 3
3iz 15i 9
3i
= 3 |3iz 9 15i| = 9.
|iw + 4 + 2i| = 2
i
2
(2w 4 + 8i)
= 2 |2w 4 + 8i| = 4.
Gọi A và B điểm biểu diễn của 3iz và 2w, khi đó A B lần lượt thuộc các đường tròn tâm
O(9; 15) bán kính bằng 9 và đường tròn I(4; 8) bán kính bằng 4. Ta tính được OI =
554.
Khi đó T = |3iz + 2w| = |3iz (2w)| = AB.
Do IO =
554 > 4 + 9 nên hai đường tròn ngoài nhau, suy ra AB
max
= AO + OI + IB =
554 + 13.
Chọn đáp án D
Câu 4. Xét số phức z thỏa mãn
|
iz 2i 2
|
|
z + 1 3i
|
=
34. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P =
|
(1 + i)z + 2i
|
.
A P
min
=
9
17
. B P
min
= 3
2. C P
min
= 4
2. D P
min
=
26.
Hướng dẫn giải
Giả sử số phức z dạng z = a + bi, z biểu diễn hình học điểm M(a; b). Khi đó
|
iz 2i 2
|
|
z + 1 3i
|
=
34
q
(b + 2)
2
+ (a 2)
2
q
(a + 1)
2
+ (b 3)
2
=
34. (1)
Gọi điểm A(2; 2), B(1; 3) khi đó ta AB =
34. Kết hợp với (1) ta suy ra MA MB = AB.
Điểm M trùng với điểm B hoặc B trung điểm của MA. Ta xét hai trường hợp sau:
TH1: M trùng B M (1; 3). Suy ra
P =
q
(a b)
2
+ (a + b + 2)
2
=
32 = 4
2.
TH2: B trung điểm của MA M(4; 8). Suy ra
P =
q
(a b)
2
+ (a + b + 2)
2
=
180 = 6
5.
3
Suy ra, min P = 4
2.
Chọn đáp án C
Câu 5. Cho số phức z thỏa mãn
z 2i
z + 3 i
= 1. Giá trị nhỏ nhất của |z + 3 2i| bằng
A
2
10
5
. B 2
10. C
10. D
10
5
.
Hướng dẫn giải
Gọi z = x + yi với x, y R.
z 2i
z + 3 i
= 1 |z 2i| = |z + 3 i|
|
x + (y 2)i
|
=
|
(x + 3) + (y 1)i
|
3x + y + 3 = 0.
Vy tập hợp các điểm biểu diễn số phức z đường thẳng d : 3x + y + 3 = 0.
Ta |z + 3 2i| = |z (3 + 2i)|, với M
0
(3; 2).
|z + 3 2i| đạt giá trị nhỏ nhất bằng d(M
0
, d) =
|9 + 2 + 3|
9 + 1
=
4
10
=
2
10
5
.
Chọn đáp án A
Câu 6. Cho các số phức z, w thỏa mãn |z| =
5, w = (4 3i)z + 1 2i. Giá trị nhỏ nhất của |w|
A 3
5. B 4
5. C 5
5. D 6
5.
Hướng dẫn giải
Theo giả thiết ta w = (4 3i)z + 1 2i z =
w 1 + 2i
4 3i
.
Nên |z| =
5
w 1 + 2i
4 3i
=
5
|
w 1 + 2i
|
= 5
5.
Vy, tập hợp điểm biểu diễn số phức w đường tròn I(1; 2) và bán kính R = 5
5.
Ta OI =
p
1
2
+ (2)
2
=
5 < R.
Do đó min |w| = R OI = 5
5
5 = 4
5.
Chọn đáp án B
Câu 7. Cho số phức z thỏa mãn |z 3 + 4i| = 2. Mô-đun lớn nhất của z bằng
A 7. B 8. C 5. D 3.
Hướng dẫn giải
Tập hợp các điểm biểu diễn cho số phức z thỏa |z 3 + 4i| = 2 đường tròn tâm I(3; 4) và bán
kính bằng R = 2. Suy ra max |z| = IO + R = 7.
Chọn đáp án A
Câu 8. Cho số phức z thỏa mãn |z 2 3i| + |z 5 + 2i| =
34. Gọi M, m lần lượt giá trị lớn
nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức |z + 1 + 2i|. Khi đó tổng M + m bằng
A
30
34
+
34. B
30
34
+ 5. C
34 + 6. D
30
34
+ 6.
Hướng dẫn giải
Liên kết tải về